A.
Barisan danDeret
1.
Pengantar
Masalah barisan sebenarnya sudah sejak zaman Yunani
kuno muncul sebagai salah satu masalah yang menarik perhatian. Sejak 2400 tahun
yang lalu konsep barisan yang kita kenal dalam matematika mulai banyak dibicarakan
orang, yaitu sejak seorang ahli filsafat Yunani yang bernama Zeno mengemukakan
suatu krisis dalam matematika. Krisis matematika itu dikenal sebagai paradoks
Zeno, yaitu sebagai berikut:
”Seorang pelari yang harus menempuh suatu jarak
tertentu dengan cara melampaui setengah dari setiap jarak yang ditempuh,
sebagai akibatnya pelari ini tidak akan sampai pada ujung dari jarak yang akan
ditempuhnya”.
selain masalah barisan ada pula cerita yang berkaitan
dengan konsep deret dalam matematika. Ada suatu cerita tentang seorang hamba
yang meminta kepada rajanya untuk diberi beras dengan cara meletakkan 1 butir
beras pada kotak pertama sebuah papan carur. Kemudian meletakkan 2 butir pada
kotak kedua, 4 butir pada kotak
ketiga, dan seterusnya, sehingga setiap kotak selanjutnya harus diisi dengan
beras sebanyak kuadrat dari jumlah beras yang ada pada kotak sebelumnya. Ternyata
beras seluruh negeri tidak cukup untuk memenuhi permintaan hambaini.
Uraian di atas, pada dasarnya merupakan salah satu
...... barisan dan deret yang kita kenal dalam matematika. Konsep barisan dan
deret akan selaluterkait
dengan bilangan-bilangan dan aturan-aturan tertentu yang menghubungkan
bilangan-bilangan tersebut.
1. Barisan
Tentunya dalam kesempatan lain kita telah menjumpai
sebarisan bilangan, dan biasanya kita diminta untuk dapat menentukan suku-suku
berikutnya. Persoalan semacam ini kita jumpai ketika kita mengikuti tes
psikologi, test intelegency quetion (IQ), tes kemampuan umum (TKU), tes potensi
akademik (TPA), atau tes-tes psikologi untuk bidang-bidang keahlian tertentu,
yaitu pada bagian tes seri (Tes Barisan dan Deret).
Sebagai contoh dalam TKU, yaitu tes untuk para siswa
SMA yang ingin meneruskan ke perguruan tinggi diminta untuk menentukan dua suku
berikutnya yang mungkin dari setiap barisan di bawah ini, dan memberikan suatu
aturan yang dapat dipakai untuk menyusun barisan itu.
(a) 1, 3, 5,
7, ...
(b) 500, 400,
320, 256, ...
(c) 1, 2, 6,
24, 120, ...
(d) 2, 5, 10,
17, ...
(e) 1,1, 1,
2 3
1 ,
...
4
Barisan-barisan semacam itu serimgkali muncul dalam
kehidupan sehari- hari. Anda mungkin pernah menjumpai sebagian dari barisan
seperti (a). Misalnya ketika mencari rumah yang bernomor 11 mungkin Anda
menerka bahwa rumah yang dicari itu ada pada sisi lain dari jalan tersebut.
Barisan yang (b) memberikan gambaranhanya suatu speda motor dalam puluhan ribu
rupiah yang disusutkan 20% per tahun.
Barisan semacam ini sering pula muncul dalam
permasalahan matematika. Pada hakekatnya unsur-unsur (u) atau suku-suku (s)
barisan adalah nilai-nilai dari suatu fungsi u (fungsi s) yang daerah asalnya (domain f-nya) adalah himpunan bilangan
asli A = { 1, 2, 3, ...}. Dalam hal ini kita mempunyai pemetaan (fungsi) dari himpunan A = { 1, 2, 3, ...} ke himpunan
unsur-unsur pada barisan.Aturan
yang menghubungkan daerah asal (domain f) ke daerah hasil (range f)
merupakan suatu rumus untuk barisan tersebut.
Untuk fungsi u yang berkaitan dengan
barisan (a) yaitu rumus yang mungkin adalah u(n) = 2n – 1. Rumus atau
aturan fungsi ini menghasilkan suku ke-n dari
barisan tersebut. Rumus tersebut biasanya adalah un= 2n – 1 dengan nA =
{1, 2, 3,
...}.
Barisan bilangan (a) 1, 3, 5, 7, ... mempunyai suku
(urutan) pertama u1= 1, suku kedua u2= 3, suku ketiga u3=
5, dan seterusnya sampai pada suku ke-n un= 2n
– 1. Dari contoh ini terlihat adanya korespondensi
satu-satu antara bilangan asli n ke suku ke-n atau undari barisan
tersebut.
1 , 2 , 3 ,
. . . n
|
|
|
|
u1= (2 x 1) – 1
|
u2= (2 x 2) – 1
|
u3= (2 x 3) – 1
|
un= 2n - 1
|
= 1
|
= 3
|
= 5
|
Dari penjelasan di atas, jelaslah bahwa barisan dapat
disebut pula sebagai fungsi dari bilangan asli. Dalam hal ini ada bererapa cara
untuk menyatakan suatu barisan, yaitu:
(1) {u1,
u2, u3, ..., un} atau
{s1, s2, s3, ..., sn} dengan n bilangan asli. (2) {un} dengan n A = {1, 2, 3, ...}.
(3) f : n undengan
n A = {1, 2, 3, ...}.
Contoh 34
Carilah rumus
untuk suku ke-n dari barisan yang empat suku pertamanya adalah (a) 1, 4, 7, 10,
...
(b) 3, 9, 27, 81, ...
(c) -2, 2, -2, 2, ...
Penyelesaian:
(a)
Selisih dua suku yang berurutan ialah 3, maka un= 3n-3.
(b)
Perpangkatan dari 3, sehingga un= 3n.
(-1)1= -1, (-1)2= 1, dan
seterusnya, sehingga un= 2 x(-1)n.
A. Barisan
Aritmetika dan DeretAritmetika
1.
BarisanAritmetika
Sekarang marilah kita perhatikan kembali beberapa contoh barisan bilangan
berikutini.
Contoh35
(a) 1, 3, 5, 7, …
(b) 2, 6, 10, 14, …
(c) 100, 90,
80, 70, …
Jika kita perhatikan contoh (a), suku yang pertamanya u1= 1,
suku yang kedua u2diperoleh dengan menambahkan 2 kepada u1,
suku yang ketiga u3diperoleh dengan menambahkan 2 kepada u2,
demikian seterusnya. Jadiselisih dari tiap suku yang berurutan dari barisan ini
adalah tetap, yaitu sebesar 2. Barisan seperti ini dinamakan barisan aritmetika dan selisih yang
tetap dari barisan itu disebut beda
barisan.
Contoh-contoh (a), (b), dan (c) dari contoh 35 di atas
adalah contoh-contoh dari barisan aritmatika.
u1,
u2, u3, ..., un
ialah barisan aritmetika , jika berlaku
u2–u1,=u3,...,u2=...=
un–un–1=konstanta.
Konstanta
ini disebut beda, dan
besarnya dinyatakan dengan b. (a) 1, 3, 5, 7, … bedanya
ialah 3 – 1 = 5 – 3 = … =2
(b) 2, 6, 10,14, … bedanya
ialah 6 – 2 = 10 – 6 = 14 – 10 =4
(c) 100, 90,
80, 70, … bedanya ialah 90 – 100 = 80 – 90 = … = - 10
Jadi, dari sajian diskusi di atas jelaslah, bahwa
suatu barisan dinamakan barisan aritmetika jika dan hanya jika selisih dua suku
yang berurutan selalu tetap (definisi).
Sekarang kita akan mencari rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika,
yaitu sbb:
Jika suku
pertama barisan aritmetika u1dinamakan a, maka didapat u1=
a
u2- u1= b u3– u2= b u4–
u3= b
= u1+ b = a + b
= u2+ b = (a + b) + b = a + 2b
= u3+ b = (a + 2b) + b = a + 3b
dan seterusnya,
sehingga didapat barisan aritmetika dalam bentuk: a , a + b , a + 2b , a + 3b ,
…, a (n – 1)b
Dari
sini kita dapatkan bentuk umum rumus
suku ke-n barisan aritmetika, yaitu: un= a + (n – 1)b
Contoh 36
Carilah suku ke-100 dari barisan
aritmetika 2, 5, 8, 11, …
Penyelesaian:
Di sini: a = 2
b = u2–
u1= 5 – 2 = 3 n = 100
un= a + (n – 1)b
= 2 + (100 – 1)3 = 2 + (99 x 3) = 299
Contoh 37
Diketahui barisan aritmetika 1, 3, 5, 7, …. un= 225. Tentukan
banyaknya suku (n).
Penyelesaian:
a = 1, b = 2, un= 225
un= a (n – 1)b
225 = 1 + (n – 1)2 = 1 + 2n - 2
226 = 2n
= 113
Jadi banyaknya
suku ada 113.
Contoh 38
Si Dadap berhasil lulus ujian saringan masuk PT
(Perguruan Tinggi). Sebagai mahasiswa, mulai 1 Januari 2008 ia menerima uang
saku sebesar Rp. 500.000,00 untuk satu triwulan. Uang saku ini diberikan setiap
permulaan triwulan. Untuk setiap triwulan berikutnya uang saku yang diterimanya
dinaikkan sebesarRp.
25.000. Berapa
besar uang saku yang akan diterima si Dadap pada awal tahun2011?
Penyelesaian:
Triwulan ke-1: u1=
a = Rp. 500.000,00 Triwulan ke-2: u2= a + b = Rp. 525.000,00, dst
Jadi b = 25.000.
Pada awal tahun
2011 telah dipakai kuliah selama 3 tahun atau 12 triwulan, berarti: u12=
a + (12 – 1)b
= 500.000 + (11 x 25.000)
= 775.000
Jadi besarnya
uang yang akan diterima si Dadap pada awal tahun 2011 adalah Rp. 775.000,00.
DAFTAR ISI
Abdul Kodir, dkk. (1979). Matematika untuk SMA. Jakarta: Depdikbud.
Andi Hakim Nasution, dkk. (1994). Matematika 2 untuk Sekolah Menengah Umum.
Jakarta: Balai Pustaka.
Bunarso Tanuatmodjo, dkk. (1977). Matematika Jilid 1. Bandung: BPG
Tertulis.
Depdikbud.
Depdiknas. (2002). Contextual Teaching and Learning (CTL).
Jakarta: Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar Menengah.
Irving M.
Copi. (1973). Symbolik Logic. Fourth
edition. New York: Macmilan Publishing Co. Inc.
Karso. (2003). Pengantar Dasar Matematika, cetakan
keempat. Jakarta: Pusat Penerbitan Universitas Terbuka Depdiknas
Lilik Hendrajaya dan Ismail
(1975). Matematika untuk SLA &
Sederajat. Bandung: Ganeca Science Book Leries.
Oesman Arif. (1978). Logika Simbol (Logika Modern). Jakarta,
Surabaya: PT. Bina Ilmu.
Ruseffendi, E.T. (1979). Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru, Edisi ketiga.
Bandung : Tarsito
Robert
Sharvy. (1970). Logic on Outline.
Totowa, New Jersey : Little field, Adam & Co.
Stephen, W. J. dan Gallagher, S.A.(2003).Problem Based Learning. [online].
Tersedia http://www. Score
rims h. 12 Ca.vs/ problem html.
Wahyudin.
(1984). Pengantar Sistem Matematika.
Bandung : Epsilon Grup. Tim (1979). Matematika
Untuk SMA. Jakarta : Depdikbud.
0 comments:
Post a Comment
Monggo Komentarnya. . .